数列は等差数列で，，を満たしている．また，数列が
　あり，数列の初項から第項までの和をとすると，，
　，，…を満たしている．
　　をで表せ．
　　をで表せ．
　　，，，…とおくと，すべての自然数に対して，
　　は９の倍数であることを数学的帰納法で証明せよ．


　
　　等差数列の初項を，公差をとおくと，
　より，　すなわち，…�@
　また，より，…�A　�@，�Aより，，
　よって，＝＝

　　…�Bにおいて，をで置き換えると，
　…�C　�C−�Bより，
　であるから，　
　これを変形すると，　ここで，数列を考えると，
　初項，公比の等比数列である．�Bにおいて，とおくと，
　　だから，　よって，初項は＝
　したがって，　

　　，の結果より，＝＋＝
　�@　のとき，であるから，は９の倍数である．
　�A　のとき，＝が９の倍数であると仮定して，
　　＝は整数とおくと，＝となるから，
　　＝＝＝＝
　　＝　は整数だから，は９の倍数である．
　�@，�Aより，すべての自然数に対して，は９の倍数である．