行列に関連した問題を解くとき，対角化によって解決されることが多い．対角化とは，
行列に対し，逆行列をもつ行列を見つけて，の成分をにす
ることである．そのとき，行列に対して，方程式
の解は対角化と深くかかわっている．
　例えば，　を対角化してみよう．このとき，上記の方程式
の解をとし，次の行列を考える．
　を満たすでないをそれぞれひとつずつ求めよ．
上記で求めたに対し，が決まる．
　の逆行列を求め，を示せ．
この対角化の応用として
　行列の各成分をの式で表せ．ただし，は自然数とする．

　　方程式の解が，であるから
　…�@…�A　：この，を固有値という．
　から　　　
　よって　……�B……�C
　�@より，であるから　：：
　ゆえに，�B�Cは同値であるから，�B�Cを満たす以外の解のつは
　
　同様に，からを満たす以外の解のつは
　　したがって　　：この，を固有ベクトルという
　，であるから　
　よって　

　……�Dが成り立つと仮定すると
　となる．
　ゆえに，数学的帰納法により，任意の自然数に対して，�Dが成り立つ．
　よって，から　
　ゆえに